En 1748, un traité d' algèbre (L'algèbre, mot d'origine arabe al-jabr (الجبر), est la branche des mathématiques qui étudie, d'une façon générale, les...) posthume de MacLaurin relance la théorie (Le mot théorie vient du mot grec theorein, qui signifie « contempler, observer, examiner ». Il en a ensuite déduit « toutes les conséquences », c’est-à-dire les différentes configurations possibles ; et, pour finir, il a expliqué « le sens » de tout cela en présentant des exemples particuliers. Mais il faut noter ici que la recherche de principes unificateurs est en fait caractéristique de la façon de travailler de certains mathématiciens anglais qui, comme Cayley, ont étudié à Cambridge au début du XIXe siècle et qui forment ce que l’on appelle « l’école algébrique anglaise ».Cette école de recherches, fondée par Charles Babbage (1791-1871), George Peacock (1791-1858) et John Herschel (1792-1871) dans les années 1820, a développé une conception de l’algèbre très différente de celle que l’on pratiquait en France à la même époque et qui était, comme nous l’avons vu, centrée sur les équations. « Si nous voulions expliquer ce qu’est l’algèbre symbolique, nous demanderions d’abord quels symboles doivent être utilisés (sans faire référence à leur sens), ensuite, quelles sont les lois qui opèrent sur ces symboles ; les déductions de toutes les conséquences relèvent de la logique mathématique commune. \quad Dans l’exemple précédent, la seule façon possible de « redécouper » est de prendre un groupe qui ne contient plus qu’un élément (l’élément neutre, donc ici le premier bloc). Nombreux sont les lecteurs du La priorité, ainsi, n’était plus de revenir sur des concepts « génériques », comme celui de groupe, susceptibles de donner un point de vue global sur la discipline algébrique. D’abord, comme le montre la citation précédente, Dedekind se place sous un angle beaucoup plus large (ou, pour reprendre ses propres termes, « plus général ») que ne le faisait Galois.

\quad On peut alors, suivant le raisonnement de Galois, en déduire que l’équation de degré $3$ est résoluble par radicaux. \end{array} \right) Au figuré : il a récité sa tirade d'un seul trait . \end{array} \right) C \mbox{ devient } C « On appelle groupe un ensemble de symboles $1$, $\alpha$, $\beta$, …, tous différents et tels que le produit de deux quelconques d’entre eux (quel qu’en soit l’ordre), ou le produit de l’un d’entre eux par lui-même appartienne à l’ensemble »En conséquence, Cayley remarque que si l’on dresse un tableau conçu comme une table de multiplication, toutes les lignes et les colonnes contiennent la totalité des éléments du groupe (cf. \end{array}\right) \end{array} \right) :<< On trouve chez Galois, sur certains des brouillons conservés, de nombreux calculs algébriques, parfois juxtaposés sur une même feuille avec des manipulations sur des permutations de nombres entiers : c’est par la pratique et l’entraînement, par l’immersion dans la théorie classique, en quelque sorte, que Galois est parvenu à ses premiers résultats. C’est d’ailleurs ce qu’explique François le Lionnais (1901-1984), dans l’introduction du chapitre portant sur « la notion de groupe, sa puissance et ses limites » de l’ouvrage En effet, que l’on lise les manuels de mathématiques Le refus de l’Académie des sciences, en 1831, s’explique sans doute en grande partie par l’inadaptation du travail de Galois aux normes et aux usages mathématiques de son temps. \left( \begin{array}{ccc} \left( \begin{array}{c} (Le laser d'alignement peut le remplacer.) En particulier, les recherches de Cayley ne visent pas à compléter le travail de Galois pour bâtir une théorie qui en serait issue. En effet, Richard Dedekind, Comme le laisse soupçonner cet exemple, le concept de groupe permet aujourd’hui aux mathématiciens de rendre compte d’un grand nombre de situations diverses en raisonnant, en fait, sur un même modèle. \quad Il faut noter, en outre, que l’exemple que nous présentons ici en guise d’aperçu est en fait assez éloigné de ce que l’on trouve Or, il est également important de remarquer que le point de vue adopté par Galois venait heurter ce que l’on considérait, en 1830, comme la « bonne façon » de poser et de résoudre le problème des équations. x_1 & x_2 & x_3 \\ C’est ce double principe, « générique » et « organisationnel », qui donne sa signification au concept de groupe que définit Cayley. \end{array} \right) En effet, prenons le nombre $2$ ; il faudrait le multiplier par $\frac{1}{2}$ pour retrouver l’élément neutre de la multiplication, qui est $1$. C \mbox{ devient } A On se concentrera ici sur plusieurs occurrences, au XIXe siècle, de ce qui sera reconnu par la suite comme un seul et même objet : la structure de groupe.Aujourd’hui, on introduit la notion de « groupe » dans les cours d’algèbre comme un ensemble d’éléments sur lesquels on peut effectuer une opération. « Un ensemble G de (…) substitutions distinctes est un groupe (…) si tout produit arbitraire de substitutions contenues dans G est encore contenu dans G »On voit ici qu’il suffirait de remplacer le mot « substitutions » par l’expression « symboles $1$, $\alpha$, $\beta$, … » pour retrouver la définition de Cayley citée précédemment. Certains des ensembles de nombres usuels, munis d’une opération, forment des groupes. 1, \quad \alpha , \quad \alpha^2 , \quad \alpha^3 \quad (\alpha^4 =1) \; ; x_3 & x_1 & x_2

)expression, remarque pleine de vivacité, de finesse, d'à-propos.qui n'indiquent que le contour des formes, sans ombres ni modelé.ombre portée d'un fil tendu au-dessus de la table d'une déligneuse, pour faciliter la mise à largeur de planches à déligner.

Le choix de définitions « naturelles » ou « correctes » est un aspect fondamental de la recherche mathématique qui a été négligé dans l’étude de la connaissance mathématique. x_1 & x_2 & x_3 \\